Arboles B

Introducción

Los B-árboles sugieron en 1972 creados por R.Bayer y E.McCreight.El problema original comienza con la necesidad de mantener índices en almacenamiento externo para acceso a bases de datos,es decir,con el grave problema de la lentitud de estos dispositivos se pretende aprovechar la gran capacidad de almacenamiento para mantener una cantidad de información muy alta organizada de forma que el acceso a una clave sea lo más rápido posible.

Los árboles con múltiples hijos hacen que el mantenimiento de índices en memoria externa sea mucho más eficiente y es justamente éste el motivo por el que este tipo de árboles han sido los que tradicionalmente se han usado para el mantenimiento de índices en sistemas de bases de datos.Lógicamente,aunque este tipo de estructuras sean más idóneas para mantener grandes cantidades de datos en almacenamiento externo es posible construirlas de igual forma en memoria principal,y por consiguiente pueden ser mantenidas en memoria (mediante el uso de punteros por ejemplo)al igual que las que hemos estudiado hasta ahora.

Los árboles B constituyen una categoría muy importante de estructuras de datos, que permiten una complementación efciente de conjuntos y diccionarios, para operaciones de consulta y acceso secuencial. Existe una gran variedad de árboles B: los árboles B, B+ y B*; pero todas ellas están basadas en la misma idea, la utilización de árboles de búsqueda no binarios y con condición de balanceo.

El árbol B fue desarrollado para mantener estructuras de datos cuyo contenido se va modificando con el tiempo (Alta y bajas) de forma de poder encontrar en forma rápida y eficiente un elemento en particular. Para ello se busca que la profundidad del árbol sea la menor posible. Se requería también que la modificación del contenido no sea muy costosa en tiempo y espacio. Están pensados para disminuir la cantidad de accesos a disco, y la posibilidad de mantener en memoria la parte que se está utilizando y el resto conservarlo en el disco.

características

• Se utilizan para manejar archivos que contienen gran cantidad de información.
• Son una generalización de los arboles balanceados
• Son utilizados como método de búsqueda externa
• cada nodo en un árbol b  de orden n contiene 2n  claves como nodos máximo y n claves como mínimo
• las paginas se almacenan en memoria secundaria , la raíz  se almacena en la memoria principal 
• las paginas hojas están todas en el mismo nivel.
• crecen de abajo hacia arriba  

Definición

B-árbol es un árbol de búsqueda que puede estar vacío o aquel cuyos nodos pueden tener varios hijos, existiendo una relación de orden entre ellos. Los nodos que conforman el árbol B son denominados Páginas, para comprender de una mejor manera el concepto de Árbol B es necesario, primeramente, conocer la estructura básica de una página.

Un campo Puntero Página < Dato, se utiliza para establecer el enlace con otra página que posee datos menores del dato que posee

Dato, información que posee la pagina

Un campo Puntero Página > Dato, que se utiliza para establecer el enlace con otra página que posee datos menores del dato que posee, si la pagina fuera el último de la lista, este campo tendrá como valor: NULL (vacío). Al emplearse el campo puntero sig para relacionar dos nodos, no será necesario almacenar físicamente a los nodos en espacios contiguos.

Estructura de una Página

Cada elemento de una página interno actúa como un valor separador, que lo divide en sub árboles. Las páginas de un árbol B, es decir las páginas que no son hoja, usualmente se representan como un conjunto ordenado de elementos y punteros a los hijos. Cada página interna contiene un máximo de M hijos y, con excepción del nodo raíz, un mínimo de X hijo(s). Esta relación entre M y X implica que dos nodos que están a medio llenar pueden unirse para formar una página con las características básicas, y un nodo lleno puede dividirse (romperse) en dos páginas con las características básicas. Estas propiedades hacen posible que el árbol B se ajuste para preservar sus propiedades ante la inserción y eliminación de elementos.

Las páginas hoja tienen la misma restricción sobre el número de elementos, pero no tienen hijos, y por tanto poseen punteros vacios (nulos). El nodo raíz tiene límite superior de número de hijos, pero no tiene límite inferior. Algunos árboles balanceados guardan valores sólo en las páginas hoja, y por lo tanto sus páginas internas y páginas hojas son de diferente tipo. Los árboles B guardan valores en cada página, y pueden utilizar la misma estructura para todos las páginas.

Un ÁRBOL B de orden n es un árbol de búsqueda que satisface :

Cada página contiene como máximo 2n claves

Cada página contiene como mínimo n claves,excepto la raíz que puede tener sólo una.

Cada página o es una página hoja o tiene m+1 descendientes (enlaces a sus hijos), siendo m el número de claves en ésta.

Todas las páginas hoja están al mismo nivel.

Insertar

• La raíz es la única pagina que puede contener un numero menor  de llaves o de claves al indicado por n.
• toda pagina que no sea la raíz debe contener un numero de llaves  n>=n mayor o igual a n y menor o igual a m. 
• toda pagina con un m de llaves  debe tener m+1 apuntadores dirigidos a m+1. paginas, que son los hijos de la pagina.
• las llaves de cada una de las paginas debe almacenarse  de forma ascendente
• todas las hojas deben estar en n mismo nivel.
• la raíz puede ser eventualmente una hoja
• Realizando una búsqueda en el árbol, se halla el nodo hoja en el cual debería ubicarse el nuevo elemento.
• Si el nodo hoja tiene menos elementos que el máximo número de elementos legales, entonces hay lugar para uno más. Inserte el nuevo elemento en el nodo, respetando el orden de los elementos.
• De otra forma, el nodo debe ser dividido en dos nodos. La división se realiza de la siguiente manera:Se escoge el valor medio entre los elementos del nodo y el nuevo elemento.
• Los valores menores que el valor medio se colocan en el nuevo nodo izquierdo, y los valores mayores que el valor medio se colocan en el nuevo nodo derecho; el valor medio actúa como valor separador.
• El valor separador se debe colocar en el nodo padre, lo que puede provocar que el padre sea dividido en dos, y así sucesivamente.

Ejemplo de Insertar:

Se desea insertar en un árbol B de grado 2, los siguientes elementos: 30, 60, 45, 8, 22, 35, 4, 28, 52, 33, 13, 39, 41, 43, 24, 25 y 15

Insertar primero 30, 60, 45 y 8.

Seguidamente al insertar el 22, se produce desbordamiento, por lo que se llevará a cabo el proceso de rompimiento de la página en la inserción.

Seguidamente se insertan las llaves 35, 4, 28, 52 sin problemas, pero al insertar la llave 33 se produce un nuevo desbordamiento, por lo que se volverá al proceso de inserción con desbordamiento.

Al insertar la llave 13, se produce nuevamente un desbordamiento.

Se insertan 39 y 41 sin problemas, pero al insertar 43 hay desbordamiento, por lo que:

Se insertan 24 y 25 nuevamente sin problema, pero al insertar el 15 se produce un doble desbordamiento, por lo tanto:

Quedando finalmente el árbol así

Eliminar

La idea para realizar el borrado de una clave es similar a la inserción teniendo en cuenta que ahora, en lugar de divisiones, realizamos uniones. Existe un problema añadido, las claves a borrar pueden aparecer en cualquier lugar del árbol y por consiguiente no coincide con el caso de la inserción en la que siempre comenzamos desde una hoja y propagamos hacia arriba. La solución a esto es inmediata pues cuando borramos una clave que está en un nodo interior, lo primero que realizamos es un intercambio de este valor con el inmediato sucesor en el árbol, es decir, el hijo más a la izquierda del hijo derecho de esa clave.
Las operaciones a realizar para poder llevar a cabo el borrado son por tanto:

Redistribución: la utilizaremos en el caso en que al borrar una clave el nodo se queda con un número menor que el mínimo y uno de los hermanos adyacentes tiene al menos uno más que ese mínimo, es decir, redistribuyendo podemos solucionar el problema.

Unión: la utilizaremos en el caso de que no sea posible la redistribución y por tanto sólo será posible unir los nodos junto con la clave que los separa y se encuentra en el padre. En definitiva, el algoritmo nos queda como sigue:

Localizar el nodo donde se encuentra la clave..

Si el nodo localizado no es una hoja, intercambiar el valor de la clave localizada con el valor de la clave más a la izquierda del hijo a la derecha. En definitiva colocar la clave a borrar en una hoja. Hacemos nodo actual igual a esa hoja.

Borrar la clave.

Si el nodo actual contiene al menos el mínimo de claves como para seguir siendo un B-árbol, fin.

Si el nodo actual tiene un número menor que el mínimo:

Si un hermano tiene más del mínimo de claves, redistribución y fin.

Si ninguno de los hermanos tiene más del mínimo, unión de dos nodos junto con la clave del padre y vuelta al paso 4 para propagar el borrado de dicha clave (ahora en el padre).

simulador

arbol b