estructura de datos II: Arboles B+

Los árboles-B+ se han convertido en la técnica mas utilizada para la organización de archivos indizados. La principal característica de estos arboles es que todas las claves se encuentran en las hojas y por lo tanto cualquier camino desde la raíz hasta alguna de las claves tienen la misma longitud. En la figura representamos un diagrama de un árbol-B+ de orden 2.

Es de notar que los arboles-B+ ocupan un poco mas de espacio que los arboles-B, y esto ocurre al existir duplicidad en algunas claves. Sin embargo, esto es aceptable si el archivo se modifica frecuentemente, puesto que se evita la operación de reorganización del árbol que es tan costosa en los arboles-B.

Formalmente se define un árbol-B+ de la siguiente manera:

Cada pagina, excepto la raíz, contiene entre d y 2d elementos.

Cada pagina, excepto la raíz, tiene entre d + 1 y 2d + 1 descendientes. Se utiliza m para expresar el numero de elementos por pagina.

La pagina raíz tiene al menos dos descendientes.

Las paginas hojas están todas al mismo nivel.

Todas las claves se encuentran en las paginas hojas.

Las claves de las paginas raíz e interiores se utilizan como índices.

Búsqueda De Arboles-B+

La operación de búsqueda en árboles-B+ es similar a la operación de búsqueda en árboles-B. El proceso es simple, sin embargo puede suceder que al buscar una determinada clave la misma se encuentra en una pagina raíz o interior, en dicho caso no debe detenerse el proceso, sino que debe continuarse la búsqueda con la pagina apuntada por la rama derecha de dicha clave. Por ejemplo, al buscar la clave 55 en el árbol-B+ de la figura 8.4 se advierte que esta se encuentra en la pagina raíz. En este caso, debe continuarse el proceso de búsqueda en la pagina apuntada por la rama derecha de dicha clave

Inserción en árboles B+

El proceso de inserción en árboles-B+ es relativamente simple, similar al proceso de inserción en árboles-B. La dificultad se presenta cuando desea insertarse una clave en una pagina que se encuentra llena ( m = 2d ). En este caso, la pagina afectada se divide en 2, distribuyéndose las m + 1 claves de la siguiente forma: " las d primeras claves en la pagina de la izquierda y las d + 1 restantes claves en la pagina derecha ". Una copia de la clave del medio sube a la pagina antecesora. En la figura 8.5 hay dos diagramas que ilustran como funciona este caso.

Figura 8.5 Inserción de la clave 13 en un árbol B+.

a) Antes de insertar la clave b)Después de insertarla.

Puede suceder que la pagina antecesora se desborde nuevamente, entonces tendrá que repetirse el proceso anterior. Es importante notar que el desbordamiento en una pagina que no es hoja no produce duplicidad de claves. El proceso de propagación puede llegar hasta la raíz, en cuyo caso la altura del árbol puede incrementarse en una unidad. En la figura 8.6 se presentan dos diagramas que clarifican y resuelven este caso.

Figura 8.6 Inserción de la clave 66 en un árbol-B+
a) Antes de insertar la clave b) Después de insertarla.

Ejemplo 8.5.1

Supóngase que se desea insertar las siguientes claves en un árbol-B+ de orden 2 que se encuentra vacío:

claves: 10-27-29-17-25-21-15-31-13-51-20-24-48-19-60-35-66

Los resultados parciales que ilustran el crecimiento del árbol se presentan en los siguientes diagramas correspondientes a la figura 8.7

Figura 8.7 Inserciones en un árbol-B+ de orden2
(primera parte)

Figura 8.7 Inserción de un árbol-B+ de orden 2
(Segunda parte)

Borrado En Arboles-B+

La operación de borrado en árboles-B+ es mas simple que la operación de borrado en árboles-B. Esto ocurre porque las claves a eliminar siempre se encuentran en las paginas hojas. En general deben distinguirse los siguientes casos:

1. Si al eliminar una clave, m queda mayor o igual a d entonces termina la operación de borrado. Las claves de las paginas raíz o internas no se modifican por mas que sean una copia de la clave eliminada en las hojas. ( Se presenta un ejemplo de este caso en la figura 8.9 ).

Figura 8.9 Eliminación de la clave 25
a) Antes de eliminar la clave. b) Después de eliminarla.

2. Si al eliminar una clave, m queda menor a d entonces debe realizarse una redistribución de claves, tanto en el índice como en las paginas hojas. ( Hay dos ejemplos que ilustran como funciona este caso en la figura 8.10 ).

Figura 8.10 Eliminación de la clave 27
a) Antes de eliminar la clave. b) Después de eliminarla.

Nota: Al eliminar la clave 27 de la página A, m queda menor a d por lo que debe realizarse una redistribución de las claves. Se toma la clave que se encuentra más a la derecha en la rama izquierda de 25 (21 de la página B). Se coloca dicha clave en la página A y una copia de la misma, como índice, en la página C.

Figura 8.10 Eliminación de la clave 21
b) Antes de eliminar la clave. d) Después de eliminarla.

Nota: Al eliminar la clave 21 de la página A, m queda menor a d por lo que debe realizarse una redistribución de claves. Como no se puede tomar una clave de la página B puesto que m quedaría menor a d, entonces se realiza una fusión de las páginas A y B.

Puede suceder que al eliminar una clave y al realizar una redistribución de las mismas, la altura del árbol disminuya en una unidad. ( En la figura 8.11 se presentan dos diagramas que clarifican y resuelven este caso).

Figura 8.11 Eliminación de la clave 37
a) Antes de eliminarla. b) Después de eliminarla.

Nota: Al eliminar la clave 37 de la página A, m queda menor a d por lo que debe realizarse una redistribución de claves. Como no puede tomarse una clave de la página B puesto que m quedaría menor a d, entonces se realiza una fusión de las páginas A y B. Sin embargo, luego de está fusión m queda menor a d en la página C, por lo que debe bajarse la clave 29 de la página E y realizarse una nueva fusión, ahora de las páginas C y E. La altura del árbol disminuye en una unidad.

Ejemplo 8.5.3

Suponga que desea eliminar las siguientes claves del árbol-B+ de orden 2 de la figura 8.12:

claves: 15-51-48-60-31-20-10-25-17-24